什么是复一维

黎曼球面上有理函数(复一维)
在复一维的情况，唯一的例子就是环面族。注意环上的Ricci-平坦度量就是一个平坦度量，所以和乐群(holonomy)是平凡群，也叫SU(1)。

在复二维的情形，环T4和K3流形组成了仅有的实例。 T4有时不被算作卡拉比-丘流形，因为其和乐群(也是平凡群)是SU(2)的真子群而不是同构于 SU(2).从另一方面讲，K3曲面的和乐群是整个SU(2),所以他可以真正成为2维的卡拉比-丘流形。

在复三维的情况，可能的卡拉比-丘流形的分类还是为解决的问题。3维卡拉比-丘流形的一个例子是复射影空间CP4中的5次三流形