在数学的等差，等比数列上有一些困难，请问一下列项相消，错位相减等方法是怎样的，请加以说明。

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/12 20:04:41

错位相减举例子：1平方＋2平方＋3平方＋…＋N平方
就是把i^n变成
[i(i+1)(i+2)...(i+n)-(i-1)i(i+1)...(i+n-1)]/(n+1)+f(i)的型式，其中f(i)被降了一次,而前面的n次式子求和时可以相消，这样就可以用n-1次的公式推n次的公式了

1.裂项相消法
最常见的就是：an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
Sn=1/1*2+1/2*3+.....+1/n(n+1)
=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+....+1/(n-1)-1/n+1/n-1/(n+1)（中间相消，最后只剩首尾两项）
=1-1/(n+1)
2.错位相减法
这个在求等比数列求和公式时就用了
Sn= 1/2+1/4+1/8+....+1/2^n
两边同时乘以1/2
1/2Sn= 1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意根原式的位置的不同，这样写看的更清楚些）
两式相减
1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)
Sn=1-1/2^n
3.倒序相加法
这个在证明等差数列求和公式时就应用了
Sn=1+2+..+n
Sn=n+n-1+....+2+1
两式相加
2Sn=(1+n)+(2+n-1)+...+(n+1)
=(n+1)*n
Sn=n(n+1)/2
4.拆向分组求和法
例如：S=1+(1+3)+(1+3+3^2)+……+(1+3+3^2+3^3+……+3^(n-1))
(1-3)S=(1-3)*1+(1-3)(1+3)+(1-3)(1+3+3^2)+……+(1-3)(1+3+3^2+3^3+……+3^(n-1))
=(1-3)+(1-3^2)+(1-3^3)+……+(1-3^n)
=n-(3+3^2+3^3+……+3^n)=n-(3^(n+1)-3)/2
S=(3^(n+1)-3)/4-n/2





追答

1.裂项相消法