怎么实数的分式形式表示三角函数

诸如三角函数，指数函数，对数函数，它们被成为超越函数，它们的不能表示为代数方程根的形式，有些即使可以，也是超过4次的高次方程，不存在求根公式，只能用诸如牛顿迭代法之类的求出近似根，但个别能表示成代数方程根的形式。

求cos36有很多方法，即使你是初中生也可以看懂，我也两种
1。相似三角形法。
做三角形ABC，∠A=108,∠B=∠C=36,过A作AD交BC于D，使∠ADC=72
那么∠ADC=∠DAC=72,∠B=∠ADB=36,所以AD=DB,DC=AC
令AB=x,BD=a,因为三角形ABD∽三角形ABC，所以AB^2=BD*BC
x^2=a(a+x),得到a=[-1+sqrt(5)]x/2
所以cos36=0.5BC/AB=0.5(a+x)/x=[sqrt(5)+1]/4
2.三角公式法
cos36*cos72=sin36*cos36*cos72/sin36=1/2*sin72*cos72/sin36=1/4*sin144/sin36=1/4
cos72=2cos36^2-1代入
cos36(2cos36^2-1)=1/4 8(cos36)^3-4cos36-1=0 很麻烦啊，但是你把cos36的值代进去是对的，所以它是方程的根，这样的方程，因式分解要有本事才行，令2cos36=x x^3-2x-1=0,显然-1是它的根，而2cos36又显然不等于-1，所以两边除以x+1,得到x^2-x-1=0,cos36>0,所以2cos36=[1+sqrt(5)]/2

这样的方程很多，1楼的也对，但可能解起来还是我这个容易，如果要算任意三角函数的近似值，用展开式，也很麻烦，而且也只是近似根。

cos36=-cos144=-(2cos72的平方-1)=-(2(2cos36的平方-1)的平方)-)
解得~

大多数三角函数值都是超越数，不可能表示成有理根式的形式。只有个别数可以用一些技巧写出来，如36度之类，不过也不高等，都很初等的。
考虑有理数的三角函数值可能还会有部分结果（同样不完全），不过也太麻烦了，意义也不大，无非是利用倍角关系列方程之类。如Cos(7t)可以展成