数学高手请进，解出来在加100分。

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/12 00:00:59
已知：三角形ABC中，角C-角B=60度，
且2（AB-AC）*（AB-AC）=BC*BC
求证：A角等于90度
老师说延长AC到E使AE=AB,但我还是没有思路

使用简写符号：a = BC、b = AC、c = AB，大写字母A、B、C 分别表示角度

C - B = 60°根据正弦定理可以知道：
c - b > 0 ..................................(1)

根据题目给出条件有：
2(c - b)^2 = a^2
根据(1)可以得到
c - b = (√2/2)*a .........................(2)
继续应用正弦定理，(2)可以变换为：
sinC - sinB = (√2/2)*sinA ..............(3)

注意到：
sinC - sinB
= 2sin[(C - B)/2]*cos[(C + B)/2]
= 2*sin30°sin(A/2)
= sin(A/2)

sinA = 2*sin(A/2)*cos(A/2)

以上二式代入(3)有：
√2*cos(A/2) = 1

cos(A/2) = √2/2

A/2 = 45°
A = 90°
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补充：噢，老师的思路是纯粹几何方法，很巧妙啊！

延长 AC 至 E，使得 AE = AB 则有：
∠AEB = ∠ABE
为了书写方便，记 B = ∠ABC、C = ∠ACB、x = ∠AEB、y = ∠CBE
有关系式：
C = x + y ....................(1)
x = B + y ....................(2)

(1) + (2)
C + x = x + B + 2y
2y = C - B = 60°
y = 30°

做 CF⊥BE 交 BE 于 F，因为∠CBE = 30°，所以
CF = BC/2

EF^2