X=1,Y=3/2；X=2/3,Y=－2是方程(X*X)/(a*a)+(y*y)/(b*b)=1的两个解，求正数a,b的值

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/11 01:44:10
请写出过程

解：
X=1,Y=3/2代入方程得
1/a^2+9/(4b^2)=1 (1)
X=2/3,Y=－2代入方程得
4/(9a^2)+4/b^2=1 (2)
由（1）和（2）得
b=±3√3/5，a=±2√3/7

X=1,Y=3/2

化简(X*X)/(a*a)+(y*y)/(b*b)=1

1/a^2+9/4/b^2=1

X=2/3,Y=－2
化简(X*X)/(a*a)+(y*y)/(b*b)=1

4/9/a^2+4/b^2=1

所以两式再化简得
b^2+9/4a^2＝a^2b^2
4/9b^2+4a^2＝a^2b^2

所以5/9b^2＝7/4a^2
20b^2＝63a^2
b^2＝63/20a^2

代入方程4/9b^2+4a^2＝a^2b^2

得出4/9×63/20+4＝a^2＝4+7/5＝27/5

所以a＝±3√3/5＝±3/5√15

b^2=63/20×27/5＝63×27/100
b＝±9/10√21

由X=1,Y=3/2知,1/a^2+9/4b^2=1 (a^2是a平方之意)
由X=2/3,Y=－2知,4/9a^2+4/b^2=1
设1/a^2=m,1/b^2=n
则原方程组可化为:
m+9/4*n=1
4/9*m+4n=1
解得m=7/12
n=5/27
则1/a^2=7/12
1/b^2=5/27,且a,b为正数

所以a=2根号21/7
b=3根号15/5
这就是换元法