I feel happy staying with you 中“staying”能不能改成“ to stay”

可以。一个表示一个人的看法。另一个表示将来性或具体性。
英语当中形容词后面接to 还是doing也有少许差别。
如：like doing和like to do。前者表示经常性和习惯性。另一个表示将来性、具体性或一次性等等。
又如：Nice talking to you和Nice to talk to you的区别是：
前者表示结束的时候的个人感受。后者是表示马上要进行交谈的表达语。

i feel happy staying with you can be equally to i feel i am happy to stay with you

可以