一个正整数，如果加上100，则有一个完全平方数，如果加上168，则是另一个完全平方数，求这个正整数

设所求的数为n，由题意，得：
n + 168 = a^2……(1)
n + 100 = b^2……(2)

(1)式减去(2)式得
68 = a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)

由于68 = 1 * 68 = 2 * 34 = 4 * 17，只有三种分解方式，所以只有
i) a + b = 68, a - b = 1
或
ii) a + b = 34, a - b = 2
或
iii) a + b = 17, a - b = 4
这三种情况。
对情况i)，a与b没有整数解，排除；
对情况ii)，算出a = 18, b = 16，所以
n = 18^2 - 168 = 16^2 - 100 = 156；
对情况iii)，a与b没有整数解，排除。

综上，只有唯一解，即n = 156。即为所求的数。

我们设这个正整数为x，两个完全平方数依次为m^2，n^2，于是有
x+100=m^2，x+168=n^2，将此二式相减，即得
n^2-m^2=68，即(n+m)(n-m)=68。
我们知道(n+m)与(n-m)的奇偶性相同，而68为偶，故(n+m)与(n-m)都为偶，而68=2X2X17，因此唯一的分解只能是34，2。容易解得m=16，n=18。
故此这个正整数x=16^2-100=256-100=156。

设所求的数为n，由题意，得：
n + 168 = a^2……(1)
n + 100 = b^2……(2)
(1)式减去(2)式得
68 = a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
算出a = 18, b = 16或a =-18 b = -16两组解.
这两种情况都有n = 156

有人问过，又有人回答过。本人谨引用如下：