UC知道数列的题...某次数学考试的22题（压轴）
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/10 04:09:47
已知点B1(1,y1);B2(2,y2)......Bn(n,yn)...n∈N＋顺次为某直线l上的点，
点A1(x1,0),A2(x2,0),...,An(xn,0)...顺次为x轴上的点，其中x1=a(0<a≤1),
对于任意的n∈N＋,△AnBnAn+1是以B为顶点的等腰三角形.
（1）证明 Xn+2 - Xn 是常数.
（2）若l的方程是y=x/4 + 1/12 , 试问在△AnBnAn+1（n∈N＋）中是否存在
Rt△?存在求a，没有，说明理由.
点A1(x1,0),A2(x2,0),...,An(xn,0)...顺次为x轴上的点，其中x1=a(0<a≤1),
对于任意的n∈N＋,△AnBnAn+1是以B为顶点的等腰三角形.
（1）证明 Xn+2 - Xn 是常数.
（2）若l的方程是y=x/4 + 1/12 , 试问在△AnBnAn+1（n∈N＋）中是否存在
Rt△?存在求a，没有，说明理由.
(1)因为三角形A[n]B[n]A[n+1]为等腰三角形,所以B[n]的横坐标为A[n]A[n+1]的中点,x[n]+x[n+1]=2n,x[n+1]+x[n+2]=2(n+1)
两式相减得到x[n+2]-x[n]=2
(2)y[n]=n/4+1/12,若存在等腰直角三角形,那么底边上的高等于底边一半,
即y[n]=(x[n+1]-x[n])/2
所以x[n+1]-x[n]=2y[n]=n/2+1/6
x[n]-x[n-1]=(n-1)/2+1/6
......
x[2]-x[1]=1/2+1/6
迭加得到x[n]=(3n+2)(n-1)/12+a
从而x[n+1]=(3n+5)n/12+a
所以x[n+1]+x[n]=(3n^2+2n-1)/6+2a
由(1)中知x[n+1]+x[n]=2n
所以(3n^2+2n-1)/6+2a=2n
a=(-3n^2+10n+1)/12,由0<a≤1可解得n=1,2,3
相应的a=2/3,3/4,1/3