中国人什么时候开始称父亲为爸爸的？

自古如此!
这个问题很复杂.
第一,古无轻唇音,就是说,读"f,w"的这些字,古代是读"b\p\m"的.“父”的声母本来就是“b”（这里面还有讲究，就是三等字才由重唇变轻唇，反正你也不必了解那么详细。）
第二，古代“鱼”部字的主元音是a。这也就是说，“父”字在上古的主元音本来就是a。
根据这两点来说，汉语自古以来就有“爸爸”这个读音了。
可是，还有点小问题，就是有一些学者认为这个“ba”的后面还要有个辅音韵尾，就是说还要有个-g（大致要读bag）。但是另外的学者（王力先生以及他的学生）坚决不赞成。现在这两派学者吵得很凶。不知道什么时候吵完。
希望你朝这个方向努力。
希望你将来能解决这个问题。以便有朝一日你可以告诉我：“父”的后面究竟有没有这个g？

我只记得在一些少数民族很早就有叫父亲“阿爸”的习惯......