关于正方形的一点小问题

1.正方形ABCD中,M是AB的中点,E是AB的延长线上的一点,,MN⊥DM,且交∠CBE的平分线于N.
⑴求证:MD=MN.
⑵若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上的任一点”，其他条件不变，则结论“MD=MN”还成立吗？若成立请证明；若不成立，请说明理由。
（1）取AD中点F，连结MF，
由MN⊥DM得∠DAM＝900，
易证∠FDM＝∠NMB，
又因∠MNB＝∠NBE－∠NMB＝450－∠NMB，
∠DMF＝∠AFM－∠FDM＝450－∠FDM，
所以∠DMF＝∠MNB，
又因DF＝BM，
所以△DMF≌△MNB，
故MD＝MN。

（2）成立，
在AD上取DF＝MB，
则易知：∠FDM＝900－∠DMA，
又∠NMB＋∠DMA＝900，
∴∠FDM＝∠NMB，
又∠DMF＝450－∠FDM，
∠MNB＝450－∠NMB，
∴∠DMF＝∠MNB，
又DF＝MB，
∴△DMF≌△MNB，
故MD＝MN。

2.正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，O是正方形A'B'C'O的一个顶点。如果两个正方形的边长相等，那么正方形A'B'C'O绕点O无论怎样转动,两个正方形重叠部分的面积,总等于一个正方形面积的1/4,为什么?

设AD与A’O的交点为E，AB与C’O的交点为F。
解：因为四边形ABCD是正方形
所以AO＝BO
因为BD AC是对角线
所以角DAC＝角DBA＝45度
因为A’OC’＝90度，且角AOB＝90度
所以角AOE＝角BOF
所以三角形AOE全等于三角形BOF
所以三角形AOE的面积＝三角形BOF的面积
所以重叠部分＝四边形AEOF的面积
＝三角形AOB的面积＝1/4正方形ABCD的面积

解题关键就是找出全等的三角形，把不规则的四边形转化为规则的三角形求面积！