实数的起源

初中的时候，我们就学过实数的定义：有理数和无理数统称为实数。呵呵，事实上，可完全没有这么简单。事实上，从人类第一次发现无理数的存在到真正弄清楚什么是实数，中间过去了2000多年，那已经是19世纪末了，数学家意识到必须为微积分奠定一个坚实的逻辑起点了。这个逻辑上的起点就是关于实数的一些基本定理，这些定理第一次准确界定了实数的内涵。
在那之前很久，数学家们已经通晓了极限的运算，极限运算是微积分的基础，但是从来没有人去说明过极限运算是可行的，或者说在怎样一个范围内极限运算是可行的。举一个例子，在整数范围内乘法运算总是可以的，因为运算结果一定是整数，但除法运算就不可以了，如果你要讨论除法运算，你就必须在整个有理数的范围内进行。但在有理数的范围内，开方运算也是不行的，要进行开方运算，你必须在代数数的范围内。
那么，数学家和其它科学家已经广泛使用微积分的时候，自然有人会问，我们是在那个数集上进行极限运算的呢？会不会发生什么混乱呢？当然，人们愿意仍然把这个数集称为实数集，但现在的问题是，实数集里面应该有些什么，使得极限运算可以安全的进行？一般来说，人们会假定由所有小数组成的数集就是实数集。但会不会有用这些小数也表示不了的实数呢？
最后，柯西第一次解决了这个问题，用完备性公理作出了实数集和的明确的定义。他的做法是，作出所有的有理数的数列，然后把所有收敛的数列按极限相同的等价关系进行分类，最后把这些所有的类的集合定义为实数集（有理数集同构于它的一个子集，因此它确实是有理数集的一个扩充）。柯西论证了这个集合上进行极限运算是可以的，这就是实数集的完备性。
后来，戴德金用分割给出了实数完备性的另一个等价定义，并且证明了无限小数（把有限小数做成后面是9的循环小数）的集合满足完备性公理，因此说明了无限小数的集合就是实数集合。
至此，科学家们才松了一口气，继续放心的使用微积分。