菜板是用车床做的吗？

不是，车床更容易加工圆柱圆锥等有母线心轴的物体；
刨床和铣床一般用来加工板状块状物体；
当然了，像楼主所提到的车床做砧板也不是没有这项工艺，流动式砧板车床就可以高效率完成砧板表面车平，但仅仅车床是无法完成整个制作工艺流程的，还要其他设备配合完成整个过程。流动式砧板车床一般用来砧板表面修理。
关于木制品一般都有专门的加工设备。
建议楼主参考木制品加工技术/木制品生产等实用技术书籍。

流动式砧板车床参考万方数据：http://www.ilib.cn/A-wjkj200205004.html

传统都是先哄干，然后用手工刨刨平的，最后刷上一层树脂，