诚心请教数学题

如果a,b都是质数且a,b都不是2
则:a^3b^c是奇数,a也是奇数
奇数+奇数=偶数,与题目意思矛盾
所以a,b 中至少有一个是2
如果a=2.a^3=8
b^c=2003/8=250.375不是整数
所以;b=2, a是大于2的质数
如果:a=3
a^3b^c+a=27*2^c+3=2005
2^c=2005/27为小数
如果:a=5
a^3b^c+a=125*2^c+5=2005
2^c=16
c=4符合题目意思
所以:a=5,b=2,c=4
a+b+c=11

化简得：a(a^2b^c+1)=2005,因a,b,c，都是正整数，所以a^2b^c也是正整数，综上得到2005是a的整数倍；2005仅能被,2005,5,1,整除，2005排除，把1代入也不成立；把5代入侧得5^3b^c+5=2005,进而得125b^c=2000,b^c=16,再得b=4,c=2,a=5,所以a+b+c=11