一道求轨迹问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/14 07:57:13
一个质点从原点出发在平面xoy的第一象限以及x轴，y轴的正半轴上运动，该点在x轴正半轴上的运动速度为2m/s，在平面其他地方的速度为1m/s，记该点从原点出发在1s内能到达的区域的边界为E。求E的轨迹方程。（提示一下，不要单纯考虑直线运动）
答案：一段弧加一条线段。
TO德洛伊弗:你回答真是太好了，我其他都看懂了，只是为什么能用费尔马点来求解呢？

一段弧应该是一边在y轴上，半径为1，夹角30度的劣弧，线段应该连结弧不在y轴上的端点与点(2,0)。
以下说说思路，一步一步详细些太麻烦了。

显然要走到边界肯定是在x轴上走了一段时间后（时间设为1-t）又拐到第一象限（设角度为a）走了一段直线。

方法1：考虑区域x=2(1-t)+t*cosa ；y=t*sina的外边界，其中0<=t<=1,0<=a<=90度。

因为速度恰好是二倍的关系，利用三角形的费尔马点知识可以很简洁地解决。（费尔马点是到一固定三角形三边距离和最小的点。在有一个内角不小于120度的情况下费尔马点就是那个内角的顶点；其它情况下费尔马点到三边张角均为120度，也是唯一的）
方法2：对于边界上的任何一点A，设A关于x轴的对称点为A'.那么转向点一定是三角形AOA'的费尔马点。在角AOA'大于120度的情况下A的轨迹是那段弧；在角AOA'小于120度的情况下A的轨迹是那条线段（这时可以考虑用方法1中的参数方程，此时方法1中的a已固定为60度）。