四色问题的解答

1 四色定理和环面七色定理
1852年,伦敦大学学生Francis Guthrie提出:“看来,每幅地图只需要用四种颜色着色, 便可以使得所有有共同边界的国家着上不同的颜色”.这就是被誉为世界近代三大数学难题的四色定理.
1890年, 英国数学家Heawood证明了环面上的任意地图可以用七种颜色着色,并提出环面上七个图形两两相邻的特例. 如图1,粘合矩形的对边,把它上面的七个地区转换到环面上, 使得每两个地区都相邻,即所有七个地区应该着上不同的颜色.

图 1
2 四色定理和环面七色定理的证明
2.1 染色的条件、性质和定理
地图染色存在两个先决条件. 一是两国相邻是指它们的公共边界上至少包含一段连续曲线,两个只在一个或有限个点接壤的国家不算相邻. 二是国家是指由一条或若干条不自交的连续闭曲线围起来的连通闭曲域, 但是一个国家不能有两块或两块以上互不毗邻的领土. 否则我们无法用有限种颜色对它们染色使得任何两个相邻的国家染上的颜色都不同.
为论证四色定理,提出以下引理.
引理 1 一个平面上的地图可以通过这样的方式转换到球面上去.如图2,我们这样想象,保持所有的单个图形相邻性质不变,只是作一些形状和大小的改变,而把地图以外的广大区域想象为一个点, 通过扭曲闭合转化为球面,不难想象,此时球面上地图和平面上地图保持着相同的染色性质；反之亦然,在球面上的地图,我们先寻找若干个图形的一个公共点 (可视为公共点在若干个图形上,也可视为公共点不在若干个图形上,另外也可以是一条公共线段),沿这个公共点(公共线段)展开可得平面图.这就是说在平面上的四色定理,扩展到球面上照样适用. 由此可以得出：一个平面上有限个图形组成的地图的最外围图形数量可以转换而不影响本地图的着色性质。
引理2 在平面或球面上,最多只有四个图形可以两两相邻.在研究平面地图的单个区域图形两两相邻问题时,两个图形两两相邻,三个图形两两相邻情形较简单,在此不作详述. 如图3,在四个图形两两相邻时,中间的图形已经被外围三个图形完全包围.中间的那个图形不可能再和其他图形相邻了,所以最多只有四个图形可以两两相邻,不可能有五个或者更多的图形两两相邻,这是四色定理成立的前提. 事