一道超难的数学题，谁能解答？？

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/11 13:18:55
设f(x)在R上满足f(x+2)=f(2-x),f(7-x)=f(7+x),且闭区间[0，7]上只有f(1)=f(3)=0,判断f(x)奇偶性；并求f(x)=0在闭区间[-2005，2005]上根的个数，并证明。

非奇非偶，802

因为f(7-x)=f(7+x),所以f(7-(x-5))=f(7+(x-5))即f(12-x)=f(2+x)=f(2-x),所以f(12-(x+2))=f(2-(x+2)),即f(10-x)=f(-x),所以f(x)是一个周期为10的周期函数
f(-x)=f(10-x)=f(7-(x-3))=f(7+(x-3))=f(4+x)=f(2+(x+2))=f(2-(x-2))=f(4-x)=f(2-(x-2))=f(2+(x-2))=f(x)
所以f(x)是一个偶函数
在f(x)的一个周期[0,10]上,和f(1),f(3)相等的只有f(1)=f(5)=f(9)=f(3)=f(7),共5个,也可以说在一个周期上所有的奇数都符合要求,
在[-2005，2005]共有2006个奇数,所以有2006个根.