用何种数学理论求这种函数表达式？

这个问题刚好我知道。
想用计算机解决这个问题可以去看编译原理，嘿嘿！
想简单一点的话就用LEX-YACC自动生成语法分析代码。
师兄，何必四处求人，来问问小妹我不久解决了。
你想知道数学如何解决这类问题，不用看泛函分析，只要去看《递归论》就可以了。

集合F={a,b,c,d,e,f,m,n,k,j}
集合G=F∪{xy|x∈F & y∈F }∪{xy |x∈F & y∈G }

集合G上的运算：
φ1={<(x,y),xmy>|x∈G & y∈G}
φ2={<(x,y), xny> |x∈G & y∈G}
φ3={<x,kxj> |x∈G}
例如φ2(φ3(a), φ1(b,c))=kajnbmc。

问题：串A为kkambndmcjnkdmejj由φ1，φ2，φ3有限次复合得到，求生成生成A的表达式。
其中一个答案我已经知道：
φ3(φ2(φ1(a, φ2(b, φ1(d,c))),φ3(φ1(d,e))))

我想知道有没有不用编程序能求出结果的数学方法？
不动点理论，泛函分析或者群论是否有帮助？
还望高手指点。
问题补充：所求的表达式不能含有m,n,k,j
例如：不能是φ1(ka,bndmcjnkdmejj)
而且必须用a,b,c,d,e,f用运算φ1、φ2、φ3有限次复合得到。