关于申请执行的问题?

不能够再次提起诉讼。
你母亲可以申请执行，但仅能保护不超过申请期限的一年之内的抚养费。

我认为是可以继续起诉的，因为达成的是民事调解书。不是法律的判决，所以当一方不履行调解书的内容时，另一方是可以继续起诉的，这并不违背于一事不再理原则。另外你的起诉要求中可以要求他支付前几年的抚养费。

可以向人民法院就抚养费进行民事起诉。看看继承法，与民事诉讼法。