方程x2－(m+2)x+m2+1=0有实根 α、β，则α2+β2的最大值是___________.

a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(m+2)^2-2(m^2+1)=-m^2+4m+2
因为有实根所以△≥0
(m+2)^2-4(m^2+1)≥0得0≤m≤4/3
考察函数f(m)=-m^2+4m+2对称轴m=2且方向向下,又0≤m≤4/3
所有fmax(m)=f(4/3)=50/9

α2+β2>=2αβ(公式)
αβ=m^2+1
则α2+β2的最大值是2m^2+2

1. 方程x2－(m+2)x+m2+1=0有实根 α、β，则α2+β2的最大值是___________.
根据韦达定理α+β=m+2① α×β=m2+1②
①式两边平方得α2+β2+2αβ=m2+4m+4③
②式两边同乘2得：2αβ=2m2+2④
④代入③得：α2+β2=m2+4m+4-2m2-2=-m2+4m+2=-(m2-4m+4-6)=-[(m-2)2-6]
=-(m-2)2+6
∴最大值是6