在半圆中的任何一个三角形,它的顶点均为直角

首先要确定,这个三角形的一条边和半圆的直径重合,另一个顶点在弧上,也就是说,这个三角形是内接于这个半圆的.
让我们设半圆圆心为O,弧上的那点为A,另两个顶点为B,C.
连接AO.
我们可以发现线段AO,BO,CO长短相等(因为都是半径),所以角OAB于角OBA相等,角OAC于角OCA相等.没问题吧?
又由于上述四个角的总和是180度(三角形内角和为180度),所以角OAB和角OAC的总和是180度的一半即90度,所以那是个直角三角形.
明白了?

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这是错的吧
除非三角形的两个顶点在半圆弧的两个端点上
还有一点在半圆弧上
则直径所对的圆周角是直角

这是一个假命题！

这个是必须要三角形一个边是半圆的直径,就是三角形的两个顶点分别是半圆的直径两端.三角形的另一个顶点在半圆圆弧上就行.
证明:照上述随便画一个三角形,将圆弧上的那个顶点与圆心连接,就分出了两个等腰三角形1,2(他们两腰的边都是圆半径,所以等腰);等腰三角形顶角等于两底角之和;等腰三角形1的两底角+等腰三角形2的两底角=平角180度,所以等腰三角形1的一个底角+等腰三角形2的一个底角=90度,即顶点在圆弧上的那个角是直角!