证明形如 1010... 10的数中必定有2005的倍数

2005 = 5 * 401
401 是质数。
10101..10 / 5 = 20202 ...2 = 2 * 10101 ...01
2，401 互质，所以，只需证明 1010101...01 能整除 401 ，就行了。

设 an = 10101 ...01 ， （n 各1， 共2n-1位数）。
设 bn 为 an / 401 的余数。
假设存在 bn = 0 , 就表示存在 an 整除 401 ，
如果不存在 bn = 0 , 当 n 超过401 时，必然存在，bi = bj 的情况，即 ai,aj 对 401 同余。

则 ai - aj 整除 401 ， 且具有 1010101....010000...00 的形式，最后一个1的后面有 2j 个0 。这个数等于 1010101....01 * 10000...00 ，
显然，10 的任何次方都不含有 401 的因子，所以，前面的1010101....01 一定能整除 401 。

这样，问题得证。

好题!就是不会做..

zan! 牛人一个。