各届CMO(中国数学奥林匹克)答案

一、给定 a ，√2 < a < 2， 内接于单位圆的凸四边形ABCD适合以下条件：
（1） 圆心在这凸四边形内部；
（2） 最大边长是a , 最小边长是√(4-a2)过点A、B、C、D依次作圆Γ的四条切线LA、LB、LC、LD。已知LA与LB、LB与LC、LC与LD、LD与LA分别相交于A' 、B' 、C' 、D' 四点。求面积之比 SA'B'C'D'/SABCD 的最大值与最小值。
二、 设 X={1,2,3, … 2001}, 求最小的正整数m，适合要求：对X的任何一个m元子集W, 都存在 u、v ( u和v允许相同 )，使得u+v是2的方幂。
三、 在正n边形的每个顶点上各停有一只喜鹊。偶受惊吓，众喜鹊都飞去。一段时间后，它们又都回到这些顶点上，仍是每个顶点上一只，但未必都回到原来的顶点。求所有正整数n，使得一定存在3只喜鹊，以它们前后所在的顶点分别形成的三角形或同为锐角三角形，或同为直角三角形，或同为钝角三角形。
四、 设a, b, c, a+b-c, a+c-b, b+c-a, a+b+c是7个两两不同的质数, 且a, b, c中有两数之和是800。设d 是这7个质数中最大数与最小数之差。求d的最大可能值。
五、 将周长为24的圆周等分成24段。从24个分点中选取8个点，使得其中任何两点间所夹的弧长都不等于3和8。问满足要求的8点组的不同取法共有多少种？说明理由。
六、 a=2001。设A是适合下列条件的正整数对(m，n)所组成的集合：
（1） m < 2a； （2） 2n | (2am-m2+n2)；（3）n2-m2+2mn ≤2a(n-m)。令 f = (2am-m2-mn)/n ，求 min(m,n) ∈ Af 和 max(m,n) ∈ Af 。

2003中国数学奥林匹克全国中学生数学冬令营
一、设点I、H分别为锐角三角形的内心和垂心，点B1、C1分别为边AC,AD的中点。已知射线B1I交边AB于点B2（B2≠B），射线C1I交AC的延长线于C2，B2C2与BC相交于K,A1为△BHC的外心。