几个数学题（竞赛题）

1、口袋中又20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个。现在从中任取10个球，使得白球不少于2个但是不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个。那么上述取法的种数是：
A、14 B、16 C、18 D、20
2、实数a,b,c满足a≤b≤c,且ab+bc+ca=0,abc=1.求最大的实数k，使得不等式｜a+b|≥k|c|恒成立。
3、证明：“对任意三角形，一定存在两条边，它们的长u,v满足
1≤u/v<(1+√5）/2

1，红球个数不少于2,所以白球一定不会多于8个。红球一共才5个，而黑球又不许多于3个，所以白球一定不会少于2个，否则凑不够10个。所以只要考虑红球和黑球的组合就行。红球有2,3,4,5四种，黑球有0,1,2,3四种,故总取法有：4*4＝16种，选B
2,解：
∵ab+bc+ca=0
∴a,b,c不可能全为正数
且由条件a≤b≤c可知
a≤b<0≤c
∴ab=-(a+b)c≥2(√ab)c（均值不等式）
√ab≥2c
∴｜a+b|=-(a+b)≥2(√ab)≥4c
∴当且仅当a=b时，K取最大值。K＝4
3,最一般情况，三边不等时，不妨假设a>b>c
∵b+c>a且若a/b>(1+√5)/2（如果a/b≤(1+√5)/2就不用证啦！)
则（b+c)b>a/b>(1+√5)2→1+c/b>(1+√5)2→c/b>(√5-1）/2
→b/c<2/(5-1)=(1+√5)/2
∵b/c>1
题目得证

我哪里阴险了？？

1、16种（红球有2.3.4.5个四种情况，黑求有0.1.2.3个四种，4*4=16，不足的白求补）

2、不会！

3、分两种情况。1.如果有两条边相等，那这两边的关系就已经满足1≤u/v<(1+√5）/2了，不用证明。2.三边不等的情况，我们假设a>b>c，三角形中两边之和大于第三边，所以一定有结论：b+c>a；如果a/b>(1+√5）/2，则（b+c）/b>(1+√5）/2，则1+c/b>(1+√5）/2，则c/b>(√5-1）/2,那么，b/c<2/（√5-1）分母有理化之后就是b/c<(1+√5）/2，而b/c是大于1的。因此证明一定存在两条边满足题目

1,取出白球的最多为:7/9 2,3,4,5,6,7,8
红 4/5 2,3,4,5
黑 4/6 0,1,2,3