线段的长度是靠什么来衡量的?

Bignew提的问题很有深度，很有意思！
首先，我想解释一下Bignew所说的”一样多”：有长度不等的两线段AB与CD,那么AB上任意一点X，在CD上取一点Y，使CY＝AX＊CD／AB，则满足条件的Y点只有一个．同样CD上的任意一点Y’在AB上也有唯有一点X’与之对应．即AB与CD上的点是一一对应的！我在AB上找到一万个不同的点，在CD上我也能找出一万个对应的不同的点；在CD上找出一亿个不同的点，在AB上也绝对能找出一亿个不同的点．．．AB上有多少个点，CD上就有多少个点！
也就是说，Bignew说的”一样多”实际上就是数学上”一一对应”的概念．从这个意义上说，Bignew说的一点都没错！当我们在高中学习”一一对应”这个概念时是否想过两个线段上的点是一一对应的？以后不说”一样多”了（那是数目有限时的概念，当数目无限时，它改名为”一一对应”，这样不会引起严格数学逻辑导出的谬论！）

话说回来，一个长线段按着一定的法则（如CY＝AX＊CD／AB）可以与一个短线段一一对应，同样的长线段也可与一个更长的线段按着另一个法则对应！同样的一一对应，但是是按着不同的法则．这些法则不同，长度也就不同了．看到了吧，虽然点”一样多”，但是是有条件限制着呢！不同的条件（法则），有不同的长度！这是你问题的答案！

不过我要提醒一下Bignew,长度是公理化的定义（是描述式的）！有了它，才有其它演绎出的定义！用其它的东西来解释长度相当于用黄金来冶炼金矿石！目的只在于展示在数学这个世界里没有矛盾的逻辑！
Feynman说过一句话，是关于时间的：What really matters anyway is not how we define time, but how we measure it.
关于长度么，我想这也是适用的

你的思考犯了两个显著的错误:一,你把两个无穷大放在一起比较了;二,你还没弄清楚点和线段这两个截然不同的概念.
无穷大跟无穷大是不能比较的,把它们放在一起进行数学运算是没有意义的.
虽然生活中我们可能有类似的经验,比如我们看到一大一小的两堆沙,会认为是沙粒的数目不同使它们有了大小之分.按这样的逻辑,我们就推断,点多的线段要比点少的线段要长.因为任意两条线段的点都