一道高二复数题

Z|Z|+3Z+i=0

设 Z = a + ib
|Z| = SQRT(a^2+b^2)

(a+ib)* |Z| + 3a + 3ib +i =0
(a|Z| + 3a) + i(b|Z| +3b + 1) = 0

所以
a|Z| +3a = 0
b|Z| +3b + 1 =0

从 a(|Z|+3)=0 以及 |Z| >=0, 可以知道 (|Z|+3) ≠0。
所以 a =0

|Z| = |b|

b|b| + 3b + 1 =0

当 b > 0 时，上式子变为
b^2 + 3b + 1 =0
b = (-3 ±√5)/2
2个根都小于0，所以都不符合 b>0的先提。
即 b>0 时无解。

当 b<0 时
-b^2 +3b +1 =0
b^2 -3b -1 =0
b= (3-√13)/2 是符合 b<0 前提的解。

因此 Z = (3-√13)i/2