歌尼斯堡7桥问题

18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。如图1所示：河中的小岛A与河的左岸B、右岸C各有两座桥相连结，河中两支流间的陆地D与A、B、C各有一座桥相连结。当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题…………

欧拉在1727年20岁的时候，被俄国请去在圣彼得堡（原列宁格勒）的科学院做研究。差不多在这个时候，他的德国朋友告诉他一个曾经令许多人困惑的问题。
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这城现被苏联占领，就像老沙皇把从中国占领的土地改名一样，这城现被改称为卡里林格勒（Kaliningrad）。有一条河横贯市内，河中心有二个小岛。在当时有七座桥把这小岛和对岸联结起来。（见图四）
在周末当地的市民喜欢在城里溜达，有人曾想法子从家里出发，走过所有的桥回到家里，他们想是否能有座桥只走过一次。许多人试过都不成功。现在是否有一个方法能走过？

欧拉的朋友知道这个青年人很聪明，并且喜欢思考问题，就告诉他这个“哥尼斯堡七桥问题”，要他想法子解决。
读者最好先在图四上“纸上漫步”，看看能不能走出一个法子来。如果行不通，那么就继续下去。
欧拉并没有跑到哥尼斯堡去走走。他把这个问题化成了这样的问题来看：把二岸和小岛缩成一点，桥化为边，二个顶点有边联结，当且仅当（if and only if）这点代表的地区有桥联结起来。这样欧拉就得到了一个图了。

欧拉如何解决“七桥问题”

欧拉现在考虑这个图是否能一笔画成，如果能够的话，对应的“七桥问题”也就解决了。
他先研究一般能一笔画成的图应该具有什么性质？他发现它们大体上有二类，不是全都是偶点就是有二个奇点。
这个情形是可以这样的看：如果一个图能一笔画成，那么一定有一个起点开始画，也有一个终点。其他图上的点是“过路点”——我们要经过它。
现在看“过路点”会有什么性质？它是“能上能下，有进有出”的点，有一条边进这点，那么就要有一条边出去，不可能是有进无出，它就会变成终点，也不可能有出无进，它就会变成起点。因此在“过路点”进出的边总数应该是偶数，即“过路点”是偶点。