费马点被发现的背景

浅谈三角形的费马点

法国著名数学家费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”．这是一个历史名题，近几年仍有不少文献对此介绍．
本文试以课本上的习题、例题为素材，根据初中学生的认知水平，针对这个问题拟定一则思维训练材料，引导学生通过自己的思维和学习，初步了解这个问题的产生、形成、推理和论证过程及应用．

1．三角形的费马点

已知：如图1，ΔABD、ΔAEC都是等边三角形．求证：BE=DC．

这个题目证明比较容易，下面提几个问题供同学们思考．

思考1 在ABC的BC边再作等边三角形BCF，并连接AF如图2，可得到什么结论？是否有

(1)BE=CD=AF？

(2)BE、CD、AF三线交于一点O？

(3)∠AOB=∠BOC=∠COA=120°？

思考2 如将原题的图1改成图3，并连接DE，还能得到什么结论？

(1)原题的结论仍然成立：BE=CD．

(2)若∠ADC=120°，则D点在等边ΔAEC的外接圆上．D、B、E共线，由BE=CD有：AD＋CD=DE；若∠ADC≠120°，易证AD＋DC＞DE．得到下列命题．

定理1 等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．

思考3 根据上述定理，在图2中还有

(1)OA＋OB＋OC=AF．

(2)在ΔABC内另取一点O，总有

O′A＋O′B＋O′C＞AF，

即 OA＋OB＋OC＜O′A＋O′B＋O′C．

(3)点O是ΔABC所在平面上到三个顶点距离之和为最小的点．

定理2 三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，