Let's 和 Let us 有什么不同?

有区别！
Let's指建议，比如：Let's play basketball,shall we?意思是我们去打篮球吧,怎样？说话的对象包括听话者。
Let us 说话对象不包括听话者，比如： Let us play basketball，will you?意思是你让我们去打篮球，是吗？

绝对不一样,语境.
Let's 是两人或几人之间说话时用的.
Let us 是对第三方说的
例如:
Let'go 我对你说:咱们走吧!
Let us go 我对他说:让我们(我和你)走吧

前者用于建议
后者用于请求

摘自《各个击破丛书》：
Let's，Let us
1.Let's是Let us的缩写。包括说话人和听话人双方在内，含有催促、建议或请对方一起行动的意思。在听话人表示赞同建议时可只用Let's.如：
---Yes，let's.
2.当请求对方允许自己（第一人称复数）做某事时，要用Let us，这里的 us 不包括听话对方在内，不能缩写为Let's.
如两个同学对老师说：
Please let us remove the bookshelf for you.
让我俩给你移动一下书架。
3.两者在构成附加疑问句时，方法不同。如：
说明：从以上两句可以看出，当Let's引导祈使句，包括对方在内时（Let us也可），疑问句用shall we,表示征求意见或提建议，当Let us引导祈使句不包括对方在内时，疑问句用will you，表示委婉、客气的请求。

本来意思没有区别，Let's是let us的简化说法。但是，实际用法有差别。如：

Let us play. 让我们玩吧/允许我们玩吧。 （因为us是重心，独立发音）
Let's play. 让我们一起玩吧。/大家一起玩吧。（包括你们）

在某种情况，let's不能代替let us。
如：
You let us start the ball