设p是质数，且p2+71的不同正因数的个数不超过10个，求p

解： 当p=2时，p2+71=75=52×3，此时共有正因数(2+1)(1+1)=6个，故p=2
满足要求．当p=3时，p2+71=80=24×5，此时共有正因数(4+1)(1+1)=10个，故p=3
满足条件．
当p>3时，p2+71=p2-1+72=(p-1)(p+1)+72.质数p必为3k±1型的奇数
p-1、p+1是相邻的两个偶数，且其中必有一个是3的倍数.所以，(p—1)(p+1)是24的倍数，
从而p2+71是24的倍数．
设p2+71=24×m，m≥4．
若m有不同于2、3的质因数，则，p2+71的正因数个数≥(3+1)(1+1)(1+1)>l0；
若m中含有质因数3，则，p2+71的正因数个数≥(3+1)(2+1)>10；
若m中仅含有质因数2，则p2+71的正因数个数≥(5+1) (1+1)>10；
所以，p>3不满足条件．综上所述，所求得的质数p是2或3.