空间四边形问题

来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/06/16 02:36:29
两组对边分别垂直,证明空间四边形对角线也垂直!

楼上向量法不错,我换一个方法:
已知:AB⊥CD AD⊥BC
求证:AC⊥BD
证明:作AO⊥面BCD于O
由AB⊥CD, AO⊥CD 则CD⊥BO
同理 BC⊥DO
所以O是△BCD垂心
所以CO⊥BD 又AO⊥BD
所以BD⊥面AOC
∴BD⊥AC

哇,好深奥啊

设此空间四边形为ABCD,那么AB⊥CD,AD⊥BC
得出(向量AB)·(向量CD)=0且(向量AD)·(向量BC)=0
(向量AC)·(向量BD)
=(向量AB+向量BC)·(向量BC+向量CD)
=(向量AB)·(向量CD)+(向量AB)·(向量BC)+(向量BC)·(向量CD)+(向量BC)·(向量BC)
=(向量AB)·(向量BC)+(向量BC)·(向量BC)+(向量BC)·(向量CD)
=(向量BC)·(向量AB+向量BC+向量CD)
=(向量BC)·(向量AD)=0
所以BC与AD垂直
又因为BC与AB为空间四边形ABCD的两条对角线
所以空间四边形ABCD的对角线互相垂直

同意楼上的,在证线线垂直时用三垂线定理和逆定理比证线面垂直简单