已知扇形OAB的半径为1，圆心角为60度，求一边在半径上的内接矩形面积的最大值

已知扇形OAB的半径为1，圆心角为60度，求一边在半径上的内接矩形面积的最大值

设P点在弧AB上，设角POB=x, 那么:
过P做PE垂直OB于E,并且设内接四边形是PEFG,那么:
PE=OP*sinx=Rsinx.
OE=OP*cosx=Rcosx.
而且PG=EF=OE-OF
在直角三角形OFG中,有角FOG=60度,所以:
OF=(根号3/3)GF=(根号3/3)PE.
所以EF=OE-OF=Rcosx-(根号3/3)*(Rsinx).
所以若面积函数为S(x),有:
S(x)=Rsinx*[Rcosx-(根号3/3)*(Rsinx)]
=R*R[sinx*cosx-(根号3/3)sinx*sinx]
=R*R[(1/2)sin2x+(根号3/6)cos2x-(根号3/6)] (引进辅助角,Pi是圆周率)
=R*R[(根号3/3)*sin(2x+Pi/6)-(根号3/6)]
所以最大值就是x=Pi/6的时候取到, 又R=1
所以最大值S(x)=(根号3/6)*R*R=根号3/6

建立一个直角坐标系。原点在扇心的圆心，x轴与其中一半径重合，且矩形的一条边就在这个半径上。

另一条半径的直线方程：y = tan60 * x = √3x
这个半径（线段）的另一个端点的坐标为 (cos60,sin60)，即(1/2,√3/2)

扇形的弧的方程为 x^2 + y^2 =1
x y 的范围是：x∈[1/2,1] y∈[0,√3/2]

矩形的一条边是在x轴上，那么与此边平行的另一条边必然平行于x轴。设该边的直线方程为 y = k
k ∈(0,√3/2)

直线 y = k 与 半径y = √3x 的交点为 (k/√3, k)
与 弧的交点 的横坐标为 x = √(1-k^2) ，纵坐标为 k。

矩形在x方向的边的长度为
√(1-k^2) - k/√3
与y方向平行的边的长度为 k