问几道关于复数的题目

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/18 05:51:12
第一道：z=(i-1)/√2时，z^100+z^50+1的值等于？
第二道：复数z=1+cosα+i*sinα(π<a<2π)的模为？
第三道：若|z+3+4i|≤2，则|z|的最大值是？
再加一道：若复数(z+1)^2n+(z-1)^2n=0 (n属于N)，求证：z必为实数。

第一题：z^2=-i
z^100=(z^4)^25=1
z^50=(z^4)^12*z^2=-1
z^100+z^50+1=1
第二题：π<a<2π , -1<=sinα<0 , 0<cosα<=1
│z│=│1+cosα+i*sinα│=√[(1+cosα)^2+(sinα)^2]=√[2+2cosα]
第三题：是复平面中以（3，4）为圆心，2为半径的圆以及其内部，则|z|的最大值为5+2=7

1.
z^2=(i^2-2i+1)/2=-i
z^4=-1
z^100=(z^4)^25=-1
z^50=(z^4)^12*z^2=-i
z^100+z^50+1=-i

2.
π<a<2π , -1<=sina<0 , 0<cosa<=1
│z│=│1+cosα+i*sinα│=√[(1+cosa)^2+(sina)^2]=√[2+2cosa]

3.
设z=a+bi

|z+3+4i|=|a+bi+3+4i|=|(a+3)+(4+b)i|=√[(a+3)^2+(b+4)^2]≤2

a^2+6a+9+b^2+8b+16≤2

0≤a^2+b^2≤-21-6a-8b

|z|=|a+bi|=√[a^2+b^2]

推导吧~~懒了。。。

第一题:1
第二题:√(2+2cosa)
第三题:7