初二数学题(奥赛)

因为C点在y轴，所以设点C（0，y)
根据勾股定理(2+1)^2+(4-3)^2=AB的平方
同理2^2+(3-y)^2=AC的平方
同理1^2+(4-y)^2=BC的平方
因为三角形ABC是直角三角形，所以可运用勾股定理
AB的平方＝AC的平方＋BC的平方
解一元二次方程
(2+1)^2+(4-3)^2=2^2+(3-y)^2＋1^2+(4-y)^2
9＋1＝4＋9－6y+y^2+1+16-8y+y^2
2y^2-14y+20=0
(2y-4)(y-5)=0
解得y=2或者y＝5
所以C点为C（0，2）或C（0，5）此时为AC垂直于BC。
按照以上思路假设AB垂直于BC，则(2+1)^2+(4-3)^2＋1^2+(4-y)^2＝2^2+(3-y)^2，解得y＝7
BA垂直于AC，则（2+1)^2+(4-3)^2＋2^2+(3-y)^2＝1^2+(4-y)^2解得y＝－3
所以，C点为C（0，2）或C（0，5）或C（0，7）或C（0，－3）

设C坐标（0，y）则有：
若AC垂直BC (-2-0)*(1-0)+(3-y)*(4-y)=0
若AB垂直CA (-2-1)*(-2-0)+(3-4)*(3-y)=0
若AB垂直BC (-2-1)*(1-0)+(3-4)*(4-y)=0
解得：y=2,5,-3,7
即C为（0，2）（0，5）（0，-3）（0，7）