高难的数学题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/21 09:28:09
f（x）=x^2+ax+b 当p，q满足p+q=1时，
试证：pf（x）+qf（y）>=f(px+qy)时，对于任意的x,y都成立的冲要条件是0=<p<=1

pf(x)+qf(y)-f(px+qy)
=p(x^2+ax+b)+q(y^2+ay+b)-(px+qy)^2-a(px+qy)-b
=px^2+a(px+qy)+b(p+q)+qy^2-(px+qy)^2-a(px+qy)-b
=px^2+qy^2-(px+qy)^2
=px^2+qy^2-p^2x^2-2pqxy-q^2y^2
=pqx^2+pqy^2-2pqxy
=pq(x-y)^2
充分性：
因为0=<p<=0
p=1-q
0=<1-q<=1
0=<q<=1
pq>=0
pq(x-y)^2>=0
故pf(x)+qf(y)>=f(px+qy)
必要性
因为pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)
所以pq(x-y)^2>=0
pq>=0
p(1-p)>=0
0=<p<=1