二叉树编程 先序建立 中序遍历

理论分析
数据结构的基础知识中重要的一点就是能否根据两种不同遍历序列的组合（有三种：先序+中序，先序+后序，中序+后序），唯一的确定一棵二叉树。然后就是根据二叉树的不同遍历序列（先序、中序、后序），重构二叉树。显然，这三种组合并不是都能唯一确定二叉树的，其中先序+后序就不能唯一确定一棵二叉树，下面是关于该问题的证明与结论。

①给定二叉树结点的前序序列和中序序列，可以唯一确定该二叉树。
证明：因为先序序列的第一个元素是根结点，该元素将二叉树中序序列分成两部分，左边（假设有L个元素）表示左子树，若左边无元素，则说明左子树为空；右边（假设有R个元素）是右子树，若为空，则右子树为空。根据前序遍历中"根-左子树-右子树"的顺序，则由从先序序列的第二元素开始的L个结点序列和中序序列根左边的L个结点序列构造左子树，由先序序列最后R个元素序列与中序序列根右边的R个元素序列构造右子树。

②由中序序列和先序序列能唯一确定一棵二叉树，但是由先序序列和后序序列不能唯一确定一棵二叉树，因无法确定左右子树两部分。
反例：任何结点只有左子树的二叉树和任何结点只有右子树的二叉树，其前序序列相同，后序序列相同，但却是两棵不同的二叉树。

这两棵二叉树的先序遍历序列都为2-1-3，后序遍历序列都为3-1-2。但是显然它们是不同的二叉树，所以根据先序序列和后序序列并不能唯一确定二叉树。

③已经说明由二叉树的先序序列和中序序列可以确定一棵二叉树，现在来证明由二叉树的中序序列和后序序列，也可以唯一确定一棵二叉树。

证明：
当n=1时，只有一个根结点，由中序序列和后序序列可以确定这棵二叉树。
设当n=m-1时结论成立，即结点数目为m-1时，中序序列和后序序列可以唯一确定二叉树。现证明当n=m时结论成立。
设中序序列为S1,S2,…,Sm,后序序列是P1,P2,…,Pm。因后序序列最后一个元素Pm是根，则在中序序列中可找到与Pm相等的结点（设二叉树中各结点互不相同）Si(1≤i≤m)，因中序序列是由中序遍历而得，所以Si是根结点，S1,S2,…,Si-1是左子树的中序序列，而Si+1,Si+2,…,Sm是右子树的中序序列