斐波那锲数列

13 世纪初，欧洲最好的数学家是斐波拉契，他写了一本叫做《算盘书》的著作，是当时欧洲最好的数学书。书中有着许多有趣的数学题，其中有这样的一题：

如果一对兔子每月能生一对小兔子，而每对小兔在它出生后的第 3 个月里，又能开始生一对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由一对初生的兔子开始，一年后能繁殖成多少对兔子？

推算一下兔子的对数是很有意思的。为了叙述得有条理，我们假设最初的一对兔子出生在头一年的 12 月份。显然， 1 月份只有一对兔子，到 2 月份时，这对兔子生了 1 对小兔子，总共 2 对兔子；在 3 月份里，这对兔子又生了一对小兔，总共 3 对兔子；到 4 月份， 2 月份生的兔子开始生小兔了，这个月生了 2 对小兔，所以总共 5 对兔子；在 5 月份里，不仅最初的那对兔子和 2 月份出生的兔子各生了一对小兔， 2 月份出生的兔子也生了 1 对小兔，总共出生了 3 对兔子，所以总共 8 对兔子……。

照这样推算下去，当然能得到题目的答案，不过，斐波拉契对这种算法很不满意，他觉得这种方法太繁琐了而且推算到最后情况复杂，稍有不慎就会出现差错。于是他又深入探索了题目中的数量关系，终于找到了一种简捷的解题方法。

斐波拉契把推算得到的头几个数摆成一串。

1 ， 1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 8 ，……

这串数里隐含着一个规律，从第 3 个数开始，后面的每个数都是它前面两个数的和。根据这个规律，只要作一些简单的加法，就能推算出以后各个月兔子的数目了。

这样，要知道一年后兔子的对数是多少，也就是看这串数的第 13 个数是多少。由 5 ＋ 8 ＝ 13 ， 8 ＋ 13 ＝ 21 ， 13 ＋ 21 ＝ 34 ， 21 ＋ 34 ＝ 55 ， 34 ＋ 55 ＝ 89 ， 55 ＋ 89 ＝ 144 ， 89 ＋ 144 ＝ 233 ，可知题目的答案是 233 对。

按照这个规律推算出来的数，构成了数学史上有名的数列。大家都叫它“斐波拉契数列”。这个数列有许多奇特的性质，例如，从第 3 个数起，每个数与它后面那个数的比值，都很接近于 0.618，正好与大名鼎鼎的“黄金分割”相吻合