数列an 中a1=1 且an*a(n+1)=4^n,求数列前n项的和

an*a(n+1)=4^n
所以,an=4^(n-1)/a(n-1)
=4^(n-1)/[4^(n-2)/a(n-2)=4a(n-2)
由此可知,该数列的奇数项和偶数项分别构成公比为4的等比数列,奇数项所成数列首项为a1=1,偶数项数列首项为a2=4/a1=4

当n=2m时,
奇数项和为s1=1*(1-4^m)/(1-4)
偶数项和为s2=4*(1-4^m)/(1-4)
前n项和为二者之和.s=s1+s2=5*(1-4^m)/(1-4)=5*4^(n/2)/3

当n=2m-1时,
奇数项s1=1*(1-4^m)/(1-4)
偶数项和为s2=4*(1-4^(m-1))/(1-4)=-(4-4^m)/3=(4^m-1)/3-1

前n项和为二者之和.s=s1+s2=2*(1-4^m)/(1-4)-1=2*4^((n+1)/2)/3-1

若n为偶数Sn=[5*4^(n/2)-5]/3
若n为奇数Sn={2*4^[(n+1)/2]-5}/3