请帮助证明集合的对偶律，谢谢！

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/10 10:59:33
A.B.C为任意三个集合，请帮助证明对偶律：（A∩B）^c = A^c∪B^c
请给出详细的证明过程，谢谢！
谢谢！可是第一个要求写出详细的证明过程哦～

第二个我明白您说的理论了，那么请问下面这个证明题应该怎样来证明呢？
设映射f：X→Y,集合A属于集合X，集合B也属于X，证明：
f(A∪B)=f(A)∪f(B)

也谢谢quwozx对这两个问题的解答，第一个我明白了，但第二个还是不大明白，能不能再给我讲讲，多谢啦·～

文氏图可以用来帮助分析题意，理清思路来；但将之作为证明过程。有缺乏严谨之嫌。下面我给出代数证明过程。

证明：A∩B＜A
A∩B＜B
∴（A∩B）^C＞A^C
（A∩B）^C>B^C
∴（A∩B）^C＞A^C∪B^C……※
同理可证，（A∪B）^C＜A^C∩B^C
把A^C代入A,B^C代入B，从而有
（A^C∪B^C）^C＜(A^C)^C∩(B^C)^C=A∩B
∴两边取补，得
A^C∪B^C＞（A∩B）^C
即∴（A∩B）^C＜A^C∪B^C
结合※式可得，：（A∩B）^C= A^C∪B^C

注意，以上的＜，＞分别表示集合的包含于和包含的关系。我的字符库里没有该数学符合，所以，用上述符合代替。

再证第二个问题，设映射f：X→Y,集合A属于集合X，集合B也属于X，求证： f(A∪B)=f(A)∪f(B)
证明：不妨设，对于任意x1∈A∪B，那么必然存在唯一一个y1=f(x1)∈f(A)∪f(B);
同理设对任意y2∈f(A)∪f(B)，那么按照定义规则f可知，必然存在一个x2∈A或x2∈B，即x2∈A∪B。不然，f不是个映射，这与题目矛盾。
综上可知，从集合A∪B到f(A)∪f(B)是一个按照规则f的映射。（就是说把A∪B看作新的集合X，f(A)∪f(B)看作新的集合Y，从而有f(X)=Y）
所以f(A∪B)=f(A)∪f(B)

证明第一个可以用文氏图。

如果两个函数的定义域和对应法则都相同的话，那么就可以说这两个函数是相同的。不能用相等这个概念，
我觉得你对函数这个概念，好像不是很清楚的。相同是指，他们都用同样的定义域，对应法则指因变量与自变量是什么关系。
而相等，我们通常的理解是 2*5 与10 这两个数值 是相等的。

你再揣摩，一下，理解了没有 ？？？？