求同时满足下列条件的自然数a、b：

我的同学参加过这个比赛，这题是2004年华杯赛的初一组题目。
解答如下（以下a^b表示a的b次方）：
由于ab=169(a+b)，所以ab-169(a+b)+13^4=13^4.
也就是：
(a-169)(b-169)=13^4。
由于a，b都是自然数，且a>b,所以a-169>b-169。又因为13是素数，所以必有：
a-169=13^4,b-169=1或者a-169=13^3,b-169=13。
通过条件a+b是平方数，验证得到必有a-169=13^4,b-169=1,即a=28730,b=170。经验证满足题意。

第二个条件是ab(ab/a+b)=169—a+b ？
条件中ab/a+b=2b，所以条件（2）可以转化成2ab^2=169—a+b，也就是2ab^2-b+a-169=0。用a来表示b就是b=(1+√(1-8a^2+1352a))/4a。
注意这个式子的a和b都是正整数（a，b不可能为0，否则条件2不成立），√(1-8a^2+1352a)大于0，所以b=(1+√(...))...这里的1后面必须是+而不能是-。1-8a^2+1352a中a必须小于169，否则1-8a^2+1352a小于0。进一步缩小a的范围，发现a必须小于56，否则b小于1。当a取最小值1的时候，b有最大值9.xxxxx(b不为整数)，但是可以肯定b只有从1到9这9种可能。把b=1到9分别代入条件2，可以求出a的值，其中大多数a不为整数，所以忽略不计，唯一满足a,b都是整数且满足条件1、2的只有当b=2，a=19时。但是19+2=21，不是平方数，所以综合来看同时满足三个条件的自然数不存在，此题无解，可能是给的条件有问题造成的吧。