等比数列求和的由来

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/17 06:27:56
如题,我知道等比数列求和的公式是:
q≠1时 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)
q=1时Sn=na1
(a1为首项,an为第n项,d为公差,q 为等比)

但不知道该式子的由来,各位能说下吗?

一般地，设有等比数列a1，a2，a3，…an…
它的前n项和是Sn=a1+a2+a3+…+an
根据等比数列通项公式，上式可写成
Sn=a1+a1q+a1q2+…a1qn－2+a1qn－1 ①
①式两边乘以q，得qS=a1q+a1q2+…+a1qn－2+a1qn－1+a1qn ②
① 式两边分别减去②的两边，得（1－q）Sn=a1－a1qn
当q不等于1时，等比数列前n项和公式
Sn=a1(1－qn)
----------
1－q

我用WORD工作台写的，复制到这就变了，平方和角标显示不出来

书上有,用的是错位相减法.等式两边同乘公比q.再相减．

a1为首项,an为第n项,q 为等比

an=a1*q^(n-1)

Sn=a1+a2+.....+an=a1+a1*q+....+a1*q^(n-1)

那么二边同乘q

qSn=a1q+a1q^2+....a1q^n

qSn-Sn=a1q^n-a1=a1(1-q^n)

(q-1)Sn=a1(1-q^n)

(1)q≠1时 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)

(2)q=1时,Sn=a1+a2+...an=a1+a1*1+....a1*1=na1