关于集合的.

A={y\y=x^2,x=2k+1,k属于Z}
=>A＝{y\y=(2k+1)^2,k属于Z}
=>A＝{y=4k^2+4k+1,k属于Z}
=> A＝{y=4k(k+1)+1,k属于Z}
显然A真包含于B.

设y属于A，那么y=(2k+1)^2=4(k^2+k)+1.显然k^2+k是非负整数，即自然数。因此y属于B.从而A是B的子集。
令k^2+k=1，解得k不是自然数。这就是说5在中A,不在B中。即A是B的真子集。

证明：
第一步，证明A的元素都在B中.
设y∈A，则y=(2k+1)^2=4(k^2+k)+1.
显然k^2+k是非负整数，即自然数，
取n＝k^2+k，则y＝4n+1(n∈N)∈B,
所以：A的元素都在B中.

第二步，证明在B中至少有一个元素不在A中.
由第一步知，A中元素y＝4n+1，其中，n＝k^2+k，.....[1]
取n＝1，则k^2+k＝1，此方程没有自然数解.
所以5∈B，但5不∈A.
这说明：在B中至少有一个元素不在A中.

综合以上两步，得到：A真包含于B.

说明：方程[1]的根k=(1/2)[-1+根号下(4n+1)],显然只要4n+1(n∈N)不是完全平方数，则k一定不是自然数，这样就找到了元素在B中但不在A中。比如n＝1,3,4,5,7,8,9,....

我给一个严密证明吧.如下：
对于集合A，令a为其中任意一个元素，则
必有a=4(k1)^2+4(k1)+1，其中(k1)为一整数（(k1)属于Z）
令4(k2)+1=a=4(k1)^2+4(k1)+1，整理可得
(k2)=(k1)^2+(k1)=[(k1)+0.5]^2-0.25
又(k1)为整数，由二次函数最值性质，得
(k2)>=0且为整数
即必存在一个自然数k满足a=4k+1，故
a必在B中，即
A中任意一元素必在B中
又易知5∈B，但5不∈A
故A是B的真子集（A真包含于B）<