在学校偷东西被学校抓到，学校说罚款1000元就不会把这件事情说出去，，

这不是罚款,是受黑钱.就是私了的意思.
罚款学校是么有的,罚款是行政措施.学校主体资格不够.自己想清楚.如果偷盗的数额不大就不要私了.让他去报案.顶多几天行政处罚.如果多的话还是给把.坐牢不好受.

我国只有司法机关拥有罚款的权利，恩，不过话说回来比起交到公安机关或开除就比较值了。

学校的处罚是违法行为。
《行政处罚法》第三条规定 公民、法人或者其他组织违反行政管理秩序的行为，应当给予行政处罚 的，依照本法由法律、法规或者规章规定，并由行政机关依照本法规定的程序实施。 没有法定依据或者不遵守法定程序的，行政处罚无效。
学校只是事业单位，不是行政执法机关，其处罚没有法律依据，因此是违法的。学生盗窃只能由公安机关依法进行处罚。
参考资料：http://www.law-lib.com/law/law_view.asp?id=307