如何推导出弹性势能的表达式

设想在重力作用下，一个物体缓慢从地面升至高度h处。
在有限高度内，重力可视为恒量mg。不随高度的变化而变化。
因此 重力对物体所做的功为 -mgh。（重力与位移方向相反，所以功为负）
重力属于保守力，保守力所做的功 + 保守力势能 = 常量。
因此，重力势能的表达式为 mgh。（以地面为势能零点）

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而对一个弹性系统，弹性恢复力 F = - kx。
（k为弹性恢复系数，x表示离开平衡位置的距离）。
与重力不同，弹性恢复力不是常量，随着位移x的变化而变化。
因此 这个题目需要微积分知识的基础。

距离平衡位置为x时，恢复力为 F = -kx，负号表示恢复力的方向是指向平衡位置。其中k为弹性恢复系数。

从平衡位置 到达x位置，恢复力所做的功为 恢复力与位移乘积 从0到x 的定积分。即
W = ∫F*dx = ∫-kx * dx = -kx^2/2 （从0到x）= - kx^2/2 - 0 = - kx^/2

恢复力属于弹性系统的内力，和重力一样，也属于保守力。
保守力所做的功 = 保守势能变化的负值
以平衡位置为势能零参考点。因此
弹性势能 E = -W = kx^2/2
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做 F---x 关系曲线。从这条直线的 起点和终点 分别向x轴做垂线。
那么由 这两条垂线、x轴、F--x曲线 围成了一个闭合图形。
这个图形的面积 就是 力F所做的功 W。

上面讲的这段 在中学 接触过没？如果没有的话，那就直接承认。对于知识储备不足而尚不能证明的理论，先暂且直接承认，这也是常用的学习方法。

对于本题目，
以 弹性力 F = -kx 作为y轴，
以 伸缩量 x 作为 x轴
F--x“曲线”是通过坐标原点的一条直线。
经从该直线的起点和终点向x轴做投影后，得到第四象限的一个三角形。
三