官司输了无钱支付赔偿，败诉方可以要求败诉方以公开道歉的形式抵消部分赔款吗 ？

可以，不过要胜诉方同意。
可以由原被告双方达成和解协议。

在执行中，双方当事人自行和解吗？
在执行中，双方当事人自行和解达成协议的，执行员应当将协议内容记入笔录，由双方当事人签名或者盖章。
一方当事人不履行和解协议的，人民法院可以根据对方当事人的申请，恢复对原生效法律文书的执行。

不行