一道题目：高中数学空间向量问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/18 09:42:30
已知：四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB‖DC，∠DBC=90°，PA⊥平面ABCD，而且PA=AD=DC=1/2AB=1，M是PB中点。
求：（1）证平面PAD⊥平面PCD
（2）求AC和PB所成的角的余弦值
（3）求平面AMC与平面BMC所成的二面角

（要求：要用空间向量的方法做出来）
谢谢了！
不好意思，我看错了，
改成角DAB=90度。

伙计,你还打算要答案不?请你看清楚条件到底哪个角是90度,然后我才能给出答案.快点更正.
(1)以A为原点建立空间直角坐标系P-ABCD
因为PA垂直面ABCD
所以PA垂直CD
又因为CD平行AB,角DAB为90度,
所以CD垂直AD
PA与AD相交,
所以CD垂直面PAD
因为CD在面PDC内
所以面PCD垂直面PAD
(2)设AD长度为1,
则向量AC(1,1,0)向量PB(0,2,-1)
COS<AC,PB>=(分母为5,分子为根下10)
(3)面MAC法向量为(-1,1,-2)面BMC法向量为(1,1,2)
此两面法响亮余弦为-2/3
则二面角为arccos(-2/3)

(1)建立以A为0点的空间直角坐标系AP为Z轴,AD为X轴,AB为Y轴,得
PA⊥DC,AD⊥DC
则CD⊥平面PAD
则平面PAD⊥平面PCD
(2)由题意得C(1,1,0) B(0,2,0) P(0,0,1)
则向量AC=(1,1,0) 向量PB=(0,-2,1)
向量AC.向量PB -2
cosa=---------------=------------=-根号10/5
!AC!.!PB! 根号2根号5
即AC和PB所成的角的余弦值为根号10/5
(3)由题意得
M(0,1,1)
则向量AM=(0,1,1) 向量AC=(1,1,0)
设平面AMC法向量为(X,Y,1)
则可得方程Y+1=0 X+Y=0
解得平面AMC法向量为(1,-1,1)
同理可得平面BMC法向量为(1,1,1)
则平面AMC与平面BMC所成的二面角的补角的余弦值为1/3
即平面AMC与平面BMC所成的二面角为(派-arccos1/3)