微积分应用题

+QQ15454546 我给你书，都是微积分应用题

1证明不等式: ex >1+ x (x 不等于 0)
解：
∵Δy=f(x)-f(0)= f'(0) Δx +o(Δx)
且Δx=x-0 o(Δx)为高阶无穷小
∴f(x)=f(0)+xf'(0)+o(x)
∴f(x)>f(0)+xf'(0) （1）
如果o(x)可以忽略不计的话则
f(x)≈f(0)+xf'(0) （2）
构造函数f(x)=exp(x)，则f'(x)= exp(x) 再把x=0代入（1）式……就能得出exp(x) >1+ x (x 不等于 0)
2。求证: 当x-->0时, 两无穷小量的等价关系: ln(1+x) ~ ex-1
(注:这里的 ex是e的x次方,我无法打出数学的表示方法.)
解：
方法与上题差不多，先构造函数f(x)= ln(1+x) ，则f'(x)=1/（1+x）再把x=0代入（2）式……就能得出
ln(1+x)≈x 由于exp(x) ≈1+x 所以ln(1+x)≈exp(x)-1

我再给你一个网址http://freeweb.nyist.net/~dyp/jjsx/wjf/wjfzy/shiti/shiti.htm
上面有很多的微积分的题目。你自己做吧。

1.微分在近似计算中的应用：
要在半径r=1cm的铁球表面上镀一层厚度为0.01cm的铜，求所需铜的重量W（铜的密度k=8.9g/cm^3）(说明：cm^3后面的3是幂，也就是立方厘米，下面的r^3也是指r的3次方，依此类推）
解：先求镀层的体积，再乘以密度，便得铜的质量。显然，镀层的体积就是两个球体体积这差。设球的体积为V，则V=f(r)=4πr^3/3 由题意可取r'=1