急求,已知x+y+z=3且(x-1)^3+(y-1)^3+(z-1)^3=0,求证x,y,z中至少有1个为0

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/23 18:16:10
看清楚题,至少有1个为0(说实话,我也觉得应该是1)但题是0,看清楚哈

方法1
证明：由x+y+z=3可知（x-1）+（y-1）+（z-1）=0.

∴（x-1）^3+（y-1）^3+（z-1）^3=3（x-1）（y-1）（z-1）=0

∴ x=1或y=1或z=1

即x、y、z中至少有一个等于1.

方法2
解答：根据题目的意思 (x-1)+(y-1)+(z-1) = 0 设 a=x-1,b=y-x,c=z-1 所以 a+b+c=0 a^3+b^3+c^3=0 所以 a+b=-c a^3+b^3+c^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c^3 =-c*(a^2-ab+b^2)+c^3 =c*(c^2-a^2-b^2+ab) =c*[(a+b)^2-a^2-b^2+ab] =3abc 所以 3abc=0 显然，a、b、c中必然有一个为0