圆的面积为什么是个无理数？

圆的面积不一定为无理数。
因为S=派r^2,如果r^2=a/派,且a为有理数，则S也为有理数。
由于半径不一定为有理数，则圆的面积不一定为无理数。

还有pai为无理数是因为本身定义上的原因。pai为圆周率=S/r^2,人们求pai是用极限的方法化曲为直。

挺麻烦的。

数学上圆周率的严格定义可见我的博客文章《关于圆的周长》（http://hi.baidu.com/milksea/blog/item/7925b319ea5a254542a9ad6b.html）。我就不多说了。

下面抄一段圆周率是无理数的证明：

这个证明属于Ivan Niven。假设pi=a/b，我们定义（对某个n）：
f(x) = x^n(a-bx)^n/n!
F(x) = f(x) + ... + (-1)^jf^(2j)(x) + ... + (-1)^nf^(2n)(x)
这里f^(2j)是f的2j次导数.
于是f和F有如下性质（都很容易验证）:
1)f(x)是一个整系数多项式除以n!。
2)f(x) = f(pi-x)
3)f在(0,pi)区间上严格递增，并且x趋于0时f(x)趋于0，
x趋于pi时f(x)趋于pi^na^n/n!
4)对于0 <= j < n, f的j次导数在0和pi处的值是0。
5)对于j >= n, f的j次导数在0和pi处是整数（由1)可知）。
6)F(0)和F(pi)是整数（由4)，5)可知）。
7)F + F'' = f
8)(F'·sin - F·cos)' = f·sin （由7)可知）。
这样，对f·sin从0到pi进行定积分，就是
(F'(pi)sin(pi)-F(pi)cos(pi)) -