一个高1数学题目

10Sn=An^2+5An+6
10S(n-1) = [A(n-1)]^2 + 5 A(n-1) + 6
10Sn-10S(n-1) = (An)^2 - [A(n-1)]^2 + 5[An - A(n-1)]
而与此同时 Sn - S(n-1) = An
因此
10 * An = (An)^2 - [A(n-1)]^2 + 5[An - A(n-1)]
(An)^2 - [A(n-1)]^2 - 5[An + A(n-1)]=0
[An - A(n-1)]*[An + A(n-1)] - 5 [An + A(n-1)] = 0
因为数列为正数列，所以 An + A(n-1) ≠ 0
上面等式可简化为
An - A(n-1) -5 = 0
即 An - A(n-1) = 5
即数列为 公差为 5 的等差数列。

再由 10Sn=An^2+5An+6 可推出
10A1 = A1^2 + 5A1 + 6
(A1-2)(A1-3)=0
A1 =2 或 A1=3

如果 A1 =2，那么
An = A1 + (n-1)*d = 2 + (n-1)*5 = 5n -3
A1 = 2
A3 = 12
A15 = 72
它们之间成等比数列。符合题目要求。

如果A1=3，那么
An = A1 + (n-1)*d = 3 + (n-1)*5 = 5n -2
A1 =3
A3 = 13
A15 73
它们之间不成等比数列，因此不符合题目要求，舍去。

综上所述，数列的通项公式为：
An = 5n - 3