泊松方程的边界条件是怎样推导出的？怎么理解？

边界条件不是推导出来的。
如果要解一个微分方程，必须要有初始条件（或者边界条件）。这是一些关于势函数（或势函数的一阶导数）在初始（边界）处的等量关系；具体的得到就要用到基本的物理规律。譬如电学中，经常用到的是，在边界处，垂直边界面的D（电感）相等，切平面方向的E（电场）相等。

三类边界条件 分别推导
一般用分离变量法

参见北大教授俎栋林的《电动力学》
求解用分离变量法，参见数学物理方法类书籍。

推荐你看梁昆淼先生的数理方法,很好

这么复杂的问题估计没人愿意写出来，楼主还是看看相关的专业书籍吧，还是书上讲得详细清楚。